램 이동

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1. 개요
2. 중요성
3. 유도
- 3.1. 웰턴의 휴리스틱 유도
4. 램-레서퍼드 실험
5. 수소 스펙트럼
6. 관련 연구 및 영향
7. 같이 보기
참조

1. 개요

램 이동은 1947년 윌리스 램과 로버트 레서퍼드가 수소 원자의 에너지 준위 차이를 실험적으로 발견하면서 시작된 현상이다. 이 현상은 양자 전기역학의 중요한 일루프 효과로, 전자가 가상 광자와 상호 작용하면서 에너지 준위가 미세하게 변화하는 것을 의미한다. 램 이동은 수소 스펙트럼에서 관측되며, 한스 베테에 의해 처음으로 이론적으로 설명되었다. 램 이동 연구는 미세구조 상수를 정밀하게 측정하는 데 기여했으며, 재규격화, 장론, 물성물리학 등 다양한 분야에 영향을 미쳤다.

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램 이동
램 이동
램 이동 모식도. 수소 원자의 에너지 준위를 보여준다. 디랙 방정식에 따르면 2s1/2와 2p1/2 준위는 동일한 에너지를 갖지만, 양자 전기역학으로 계산하면 2s1/2 준위가 약간 더 높은 에너지를 갖는다.
개요
램 이동	수소 원자의 전자 에너지 준위에서, 디랙 방정식이 예측하는 것과 실제 관측 간의 작은 차이를 설명하는 현상
관련 이론	양자 전기역학
특징	디랙 방정식에 의해 같은 에너지를 갖는다고 예측된 2s1/2와 2p1/2 준위가 양자 전기역학 계산에서는 2s1/2 준위가 더 높은 에너지를 갖음
역사적 배경	윌리스 램과 로버트 레더퍼드의 실험 (1947년)으로 처음 발견됨 양자 전기역학 발전에 기여
상세 설명
원인	전자의 자기 모멘트와 전자기장의 상호작용으로 인해 발생 진공 상태에서 나타나는 입자-반입자 쌍 생성 및 소멸 효과 (진공 요동)
측정	수소 원자 스펙트럼 측정 마이크로파 공명을 이용
영향	수소 원자의 정확한 에너지 준위 계산에 필수적 양자 전기역학의 정확성을 입증하는 중요한 사례
수소 원자 에너지 준위
디랙 방정식 예측	2s1/2 준위와 2p1/2 준위는 동일한 에너지
실제 관측	2s1/2 준위가 2p1/2 준위보다 약 1057 MHz 만큼 높음
램 이동 크기	수소 원자 2s1/2와 2p1/2 준위 사이의 에너지 차이는 약 4.372 × 10−6 eV
같이 보기
관련 주제	양자 전기역학 디랙 방정식 수소 원자 미세 구조 진공 요동 윌리스 램
외부 링크
관련 자료	Victor Frederick Weisskopf, 1908–2002, A Biographical Memoir Quantum Mechanics §15.15 Lamb Shift

2. 중요성

1978년 프리먼 다이슨은 램 이동이 물리학의 중심 주제였던 시절을 "황금기"라고 표현하며, 램 이동이 입자와 장에 대한 이해를 명확하게 하는 데 중요한 역할을 했다고 말했다.^[3]

3. 유도

램 이동은 테오도어 웰턴이 제안한 방법으로 유도할 수 있다.^[4]^[5] QED 진공과 관련된 전기장 및 자기장 요동은 원자핵의 전위를 교란시키고, 이는 전자의 위치 변동을 야기하여 에너지 이동을 일으킨다.

전자의 위치 에너지 차이는 다음과 같이 표현된다.

: $\Delta V = V(\vec{r}+\delta \vec{r})-V(\vec{r})=\delta \vec{r} \cdot \nabla V (\vec{r}) + \frac{1}{2} (\delta \vec{r} \cdot \nabla)^2V(\vec{r})+\cdots$

요동이 등방성이라는 점을 이용하여 식을 간소화할 수 있다. 전자의 운동 방정식을 통해 변위를 계산하고, 모든 가능한 파수 벡터에 대해 합산하여 에너지 차이를 구한다. 적분 결과는 발산하지만, 적절한 상한 (컴프턴 파장) 및 하한 (보어 반지름)을 도입하여 유한한 값을 얻을 수 있다.

최종적으로, 램 이동은 미세구조 상수 ( $\alpha$ )를 포함하는 식으로 표현되며, 약 500MHz의 에너지 이동을 나타낸다. 이는 관측된 1057MHz 이동의 약 1/2배에 해당한다. 웰턴의 유도는 다윈 항을 지터베베궁을 사용하여 계산하는 것과 유사하지만, 램 이동보다 $\alpha$ 에서 낮은 차수의 미세구조에 기여한다는 점에서 구별된다.^[6]

3. 1. 웰턴의 휴리스틱 유도

테오도어 웰턴은 전자기적 준위 이동을 휴리스틱하게 유도하는 방법을 제시했다.^[4]^[5] 이 방법은 QED 진공과 관련된 전기장 및 자기장 요동이 원자핵에 의한 전위를 교란시킨다는 개념에 기반한다.

이 섭동은 전자의 위치 변동을 야기하며, 이는 에너지 이동으로 이어진다. 퍼텐셜 에너지 차이는 다음과 같이 주어진다.

:

\Delta V = V(\vec{r}+\delta \vec{r})-V(\vec{r})=\delta \vec{r} \cdot \nabla V (\vec{r}) + \frac{1}{2} (\delta \vec{r} \cdot \nabla)^2V(\vec{r})+\cdots

요동이 등방성이므로,

:

\langle \delta \vec{r} \rangle _{\rm vac} =0,

:

\langle (\delta \vec{r} \cdot \nabla )^2 \rangle _{\rm vac} = \frac{1}{3} \langle (\delta \vec{r})^2\rangle _{\rm vac} \nabla ^2.

따라서 다음을 얻는다.

:

\langle \Delta V\rangle =\frac{1}{6} \langle (\delta \vec{r})^2\rangle _{\rm vac}\left\langle \nabla ^2\left(\frac{-e^2}{4\pi \epsilon _0r}\right)\right\rangle _{\rm at}.

전자 변위 (''δr'')에 대한 고전적인 운동 방정식은 파수 벡터 와 진동수 ''ν''의 장의 단일 모드에 의해 유도되며 다음과 같다.

:

m\frac{d^2}{dt^2} (\delta r)_{\vec{k}}=-eE_{\vec{k}},

이 식은 보어 궤도에서 진동수 ''ν''가 ''ν''₀보다 클 때 (

\nu > \pi c/a_0

) 유효하다. 원자의 고유 궤도 진동수보다 요동이 작으면 전자는 요동하는 장에 반응할 수 없다.

''ν''에서 진동하는 장에 대해,

:

\delta r(t)\cong \delta r(0)(e^{-i\nu t}+e^{i\nu t}),

따라서

:

(\delta r)_{\vec{k}} \cong \frac{e}{mc^2k^2} E_{\vec{k}}=\frac{e}{mc^2k^2} \mathcal{E} _{\vec{k}} \left (a_{\vec{k}}e^{-i\nu t+i\vec{k}\cdot \vec{r}}+h.c. \right) \qquad \text{with} \qquad  \mathcal{E} _{\vec{k}}=\left(\frac{\hbar ck/2}{\epsilon _0 \Omega}\right)^{1/2},

여기서

\Omega

는 어떤 큰 정규화 부피(수소 원자를 포함하는 가상의 "상자"의 부피)이고,

h.c.

는 앞선 항의 에르미트 공액을 나타낸다.

모든

\vec{k}

에 대한 합으로,

:

\begin{align}\langle (\delta \vec{r} )^2\rangle _{\rm vac} &=\sum_{\vec{k}} \left(\frac{e}{mc^2k^2} \right)^2 \left\langle 0\left |(E_{\vec{k}})^2 \right |0 \right \rangle \\&=\sum_{\vec{k}} \left(\frac{e}{mc^2k^2} \right)^2\left(\frac{\hbar ck}{2\epsilon _0 \Omega} \right) \\&=2\frac{\Omega}{(2\pi )^3}4\pi \int dkk^2\left(\frac{e}{mc^2k^2} \right)^2\left(\frac{\hbar ck}{2\epsilon_0 \Omega}\right) && \text{since continuity of } \vec{k} \text{ implies } \sum_{\vec{k}} \to 2 \frac{\Omega}{(2\pi)^3} \int d^3 k \\&=\frac{1}{2\epsilon_0\pi^2}\left(\frac{e^2}{\hbar c}\right)\left(\frac{\hbar}{mc}\right)^2\int \frac{dk}{k}\end{align}

이 결과는 적분 한계가 없을 때 발산한다. 이 방법은

\nu > \pi c/a_0

또는

k > \pi/a_0

일 때 유효하며, 컴프턴 파장보다 긴 파장 (

k < mc/\hbar

)에 대해서만 유효하다. 적분 상한과 하한을 선택하면 결과가 수렴한다.

:

\langle(\delta\vec{r})^2\rangle_{\rm vac}\cong\frac{1}{2\epsilon_0\pi^2}\left(\frac{e^2}{\hbar c}\right)\left(\frac{\hbar}{mc}\right)^2\ln\frac{4\epsilon_0\hbar c}{e^2}

.

원자 궤도와 쿨롱 퍼텐셜에 대해,

:

\left\langle\nabla^2\left(\frac{-e^2}{4\pi\epsilon_0r}\right)\right\rangle_{\rm at}=\frac{-e^2}{4\pi\epsilon_0}\int d\vec{r}\psi^*(\vec{r})\nabla^2\left(\frac{1}{r}\right)\psi(\vec{r})=\frac{e^2}{\epsilon_0}|\psi(0)|^2,

:

\nabla^2\left(\frac{1}{r}\right)=-4\pi\delta(\vec{r}).

''p'' 궤도의 경우, 비상대론적 파동 함수는 원점에서 0이므로 에너지 이동이 없다. ''s'' 궤도의 경우 원점에서 유한한 값을 가지며,

:

\psi_{2S}(0)=\frac{1}{(8\pi a_0^3)^{1/2}},

보어 반지름은

:

a_0=\frac{4\pi\epsilon_0\hbar^2}{me^2}.

따라서,

:

\left\langle\nabla^2\left(\frac{-e^2}{4\pi\epsilon_0r}\right)\right\rangle_{\rm at}=\frac{e^2}{\epsilon_0}|\psi_{2S}(0)|^2=\frac{e^2}{8\pi\epsilon_0a_0^3}

.

최종적으로, 퍼텐셜 에너지 차이는 다음과 같다.

:

\langle\Delta V\rangle=\frac{4}{3}\frac{e^2}{4\pi\epsilon_0}\frac{e^2}{4\pi\epsilon_0\hbar c}\left(\frac{\hbar}{mc}\right)^2\frac{1}{8\pi a_0^3}\ln\frac{4\epsilon_0\hbar c}{e^2} = \alpha^5 mc^2 \frac{1}{6\pi} \ln\frac{1}{\pi\alpha},

여기서

\alpha

는 미세구조 상수이다. 이 이동은 약 500MHz이며, 관측된 1057MHz 이동의 약 1/2배 이다.

웰턴의 유도는 다윈 항을 지터베베궁을 사용하여 계산하는 것과 유사하지만, 램 이동보다

\alpha

에서 낮은 차수의 미세구조에 기여한다는 점에서 구별된다.^[6]

4. 램-레서퍼드 실험

1947년 윌리스 램과 로버트 레서퍼드(Robert Retherford)는 마이크로파 기술을 이용하여 수소 원자의 ²S_1/2 준위와 ²P_1/2 준위 사이의 고주파 전이를 유도하는 실험을 수행했다.^[7] 낮은 주파수를 사용하여 도플러 확장을 무시할 수 있었다(도플러 확장은 주파수에 비례한다). 램과 레서퍼드가 발견한 에너지 차이는 ²S_1/2 준위가 ²P_1/2 준위보다 약 1000MHz 높다는 것이었다.

이 차이는 양자 전기역학의 일루프 효과이며, 원자에 의해 방출되고 재흡수된 가상 광자의 영향으로 해석될 수 있다. 양자 전기역학에서 전자기장은 양자화되며, 양자 역학의 조화 진동자와 마찬가지로 가장 낮은 상태가 0이 아니다. 따라서, 전자가 빠른 진동 운동을 하게 하는 작은 영점 진동이 존재한다. 전자는 "확산"되고 각 반지름 값은 ''r''에서 ''r'' + ''δr''(작지만 유한한 섭동)로 변경된다.

따라서 쿨롱 퍼텐셜은 약간의 양만큼 섭동을 받고 두 에너지 준위의 축퇴는 제거된다. 새로운 퍼텐셜은 (원자 단위를 사용하여) 다음과 같이 근사할 수 있다.

: $\langle E_\mathrm{pot} \rangle=-\frac{Ze^2}{4\pi\epsilon_0}\left\langle\frac{1}{r+\delta r}\right\rangle.$

램 이동 자체는 다음과 같이 주어집니다.

: $\Delta E_\mathrm{Lamb}=\alpha^5 m_e c^2 \frac{k(n,0)}{4n^3}\ \mathrm{for}\ \ell=0\,$

여기서 ''k''(''n'', 0)은 약 13이며 ''n''에 따라 약간 변하고,

: $\Delta E_\mathrm{Lamb}=\alpha^5 m_e c^2 \frac{1}{4n^3}\left[k(n,\ell)\pm \frac{1}{\pi(j+\frac{1}{2})(\ell+\frac{1}{2})}\right]\ \mathrm{for}\ \ell\ne 0\ \mathrm{and}\ j=\ell\pm\frac{1}{2},$

로그(''k''(''n'',ℓ))는 작은 수(약 −0.05)이며 ''k''(''n'',ℓ)를 1에 가깝게 만든다.

5. 수소 스펙트럼

한스 베테는 1947년에 처음으로 수소 스펙트럼의 램 이동을 설명하였고, 이는 현대 양자 전기역학 발전의 기초가 되었다. 베테는 질량 재정규화 개념을 적용하여 램 이동을 유도했다.^[9] 램 이동은 미세구조 상수 α를 백만분의 일보다 더 나은 정밀도로 측정하여 양자 전기역학을 정밀하게 검증할 수 있게 한다.

1947년 윌리스 램과 로버트 러더퍼드는 마이크로파를 이용하여 수소 원자의 ²S_1/2|2S1/2^영어 준위와 ²P_1/2|2P1/2^영어 준위 사이의 전이를 일으키는 실험을 수행했다.^[12] 가시광선보다 낮은 주파수의 전자기파를 사용함으로써 도플러 확장을 억제할 수 있었다. 램과 러더퍼드는 ²P_1/2|2P1/2^영어 준위보다 ²S_1/2|2S1/2^영어 준위의 에너지가 약 1000MHz 더 크다는 것을 관측했다.

한스 베테는 전자가 스스로와 상호 작용할 때 얻어지는 무한대의 값을 자유 전자와 수소 원자 내 전자에 대해 빼서 유한한 값을 얻었다. 베테의 이러한 발상은 나중에 재규격화 이론으로 이어지게 된다. 램 이동은 미세 구조 상수를 여섯 자리의 정확도로 결정할 수 있게 해준다.

6. 관련 연구 및 영향

프리먼 다이슨은 1978년 램의 65번째 생일에 램 이동이 물리학의 중심 주제였던 시절을 회상하며, 램이 이 미세한 이동이 입자와 장에 대한 사고를 명확하게 해줄 것을 가장 먼저 알아차렸다고 말했다.^[3] 램 이동은 재귀화, 장론, 물성물리학 등 다양한 분야에 영향을 미쳤다.

7. 같이 보기

재귀화
장론
물성물리학

참조

_[1] 서적 Quantum Mechanics Prentice-Hall of India Pvt. Ltd.
_[2] 웹사이트 Victor Frederick Weisskopf, 1908–2002, A Biographical Memoir https://www.nasonlin[...]
_[3] 학술지 Willis E. Lamb, Jr. 1913—2008 https://www.nasonlin[...]
_[4] 서적 Quantum Optics https://books.google[...] Cambridge University Press
_[5] 학술지 Some Observable Effects of the Quantum-Mechanical Fluctuations of the Electromagnetic Field https://link.aps.org[...] 1948-11-01
_[6] 서적 Quantum Field Theory Dover Publications
_[7] 학술지 Fine Structure of the Hydrogen Atom by a Microwave Method
_[8] 서적 Quantum Mechanics of One- and Two-Electron Atoms Springer 2013
_[9] 학술지 The Electromagnetic Shift of Energy Levels http://link.aps.org/[...] 1947
_[10] 서적 Quantum Optics https://books.google[...] Cambridge University Press
_[11] 서적 Quantum Field Theory Dover Publications
_[12] 학술지 Fine Structure of the Hydrogen Atom by a Microwave Method

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